Solvable Lie algebras of derivations of polynomial rings in three variables

Ie. Yu. Chapovskyi, D. I. Efimov, A. P. Petravchuk

Анотація


Let $\mathbb K$ be an algebraically closed field of characteristic zero, A=$\mathbb K$[x1,x2,x3] be the polynomial ring in three variables and R$=\mathbb K$(x1,x2,x3) be the field of rational functions. If L is a subalgebra of the Lie algebra W3($\mathbb K$) of all $\mathbb K$-derivations of A, then RL is a Lie algebra over $\mathbb K$ and dimRRL will be called the rank of L over R. We study solvable subalgebras L of W3($\mathbb K$) of rank 3 over R. It is proved that L is isomorphic to a subalgebra of the general affine Lie algebra aff3($\mathbb K$) if L contains an abelian ideal I of rank 3 over R. If L has an ideal I with rkRI=2, then L is contained in a subalgebra $\bar{\it L}$ of $\tilde{W}_3(\mathbb K)=\it{Der}_{\mathbb K}\it R$ such that $\bar{\it L}$ is an extension of a subalgebra of aff2(F) by a subalgebra of dimension ≤2, where F is the field of constants of I in R.

Нехай $\mathbb K$ – алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, A=$\mathbb K$[x1,x2,x3] – кільце многочленів від трьох змінних і R$=\mathbb K$(x1,x2,x3) – поле раціональних функцій. Якщо L – підалгебра алгебри Лі W3($\mathbb K$) всіх $\mathbb K$-диференціювань кільця A, то RL є алгеброю Лі над $\mathbb K$ і dimRRL називається рангом алгебри L над R. Вивчаються підалгебри L рангу 3 над R алгебри Лі W3($\mathbb K$). Доведено, що якщо L містить абелевий ідеал I рангу 3 над R, то L ізоморфна підалгебрі загальної афінної алгебри Лі aff3($\mathbb K$). Якщо L має ідеал I з rkRI=2, то L міститься в підалгебрі $\bar{\it L}$ алгебри $\tilde{W}_3(\mathbb K)=\it{Der}_{\mathbb K}\it R$, де $\bar{\it L}$ – розширення деякої підалгебри із aff2(F) за допомогою підалгебри розмірності ≤2, а F – поле констант для I в R.


Повний текст: PDF (English)

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.