Диференціально-різницеві ітераційні методи декомпозиції області для задачі про контакт пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів

І. І. Прокопишин, С. М. Шахно

Анотація


Розглянуто задачу про контактну взаємодію багатьох пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів. Для розв'язування нелінійного варіаційного рівняння з недиференційовним оператором, що відповідає цій контактній задачі, запропоновано неявні двоточкові комбіновані диференціально-різницеві паралельні ітераційні алгоритми декомпозиції області типу Робіна. Здійснено програмну реалізацію цих алгоритмів для випадку плоских контактних задач на основі скінченноелементних апроксимацій. Проведено порівняння числової ефективності двоточкових та одноточкових ітераційних методів декомпозиції області для задачі про контакт через нелінійний вінклерівський прошарок двох пружних тіл з виїмкою.


Ключові слова


контактні задачі, варіаційні рівняння, диференціально-різницеві ітераційні методи, напівгладкий метод Ньютона, методи декомпозиції області, метод скінченних елементів

Посилання


Бартіш М. Я., Щербина Ю. М. Про один різницевий метод розв’язування нелінійних операторних рівнянь // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1972. – № 7. – С. 579–582.

Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // Прикл. математика и механика. – 1978. – 42, № 3. – C. 467–473. Те саме: Kravchuk A. S. Formulation of the problem of contact between several deformable bodies as a nonlinear programming problem // J. Appl. Math. Mech. – 1978. – 42, No. 3. – P. 489–498 – https://doi.org/10.1016/0021-8928(78)90117-X

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 588 c. Те саме: Lions J.-L. Quelques méthodes de résolution des problèms aux limites non linéares. – Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1969. – 554 р.

Мартиняк Р. М., Прокопишин І. А., Прокопишин І. І. Контакт пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 3. – С. 43–56. Те саме: Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A., Prokopyshyn I. I. Contact of elastic bodies with nonlinear Winkler surface layers // J. Math. Sci. – 2015. – 205, No. 4. – P. 535–553. – https://doi.org/10.1007/s10958-015-2265-0

Прокопишин И. А., Хлебников Д. Г. Эквивалентные вариационные постановки односторонних контактных задач для упругих тел при наличии нелинейного поверхностного слоя // Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела: Тез. докл. респ. науч.-техн. конф. – Харьков: ХИСИ, 1989. – С. 83–85.

Прокопишин І. І. Схеми декомпозиції області на основі методу штрафу для задач контакту пружних тіл: Дис. … канд. фіз.-мат. наук: 01.05.02. – Львів, 2010. – 163 с.

Прокопишин І. І., Дияк І. І., Мартиняк Р. М. Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2013. – 49, № 1. – С. 46–55. Те саме: Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M. Numerical analysis of the problems of contact of three elastic bodies by the domain decomposition methods // Mater. Sci. – 2013. – 49, No. 1. – P. 45–58. – https://doi.org/10.1007/s11003-013-9581-7

Прокопишин І. Методи декомпозиції області для задач про односторонній контакт нелінійно пружних тіл // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2012. – Вип. 15. – С. 75–87.

Прокопишин І. Паралельні схеми методу декомпозиції області для контактних задач теорії пружності без тертя // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикл. математика та інформатика. – 2008. – Вип. 14. – C. 123–133.

Прокопишин І., Шахно С. Диференціально-різницеві ітераційні алгоритми декомпозиції області для задач про односторонній контакт багатьох пружних тіл // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2017. – Вип. 25. – С. 125–140.

Шахно С. М. Про двокроковий ітераційний процес в узагальнених умовах Ліпшиця для поділених різниць першого порядку // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2009. – 52, № 1. – С. 59–66. Те саме: Shakhno S. M. On a two-step iterative process under generalized Lipschitz conditions for first-order divided differences // J. Math. Sci. – 2010. – 168, No. 4. – P. 576–584. – https://doi.org/10.1007/s10958-010-0008-9

Шахно С. М. Про різницевий метод з квадратичною збіжністю для розв’язування нелінійних операторних рівнянь // Мат. студії. – 2006. – 26, № 1. – С. 105–110.

Шахно С. М., Мельник І. В., Ярмола Г. П. Аналіз збіжності комбінованого методу для розв’язування нелінійних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 1. – С. 31–39. Те саме: Shakhno S. M., Мel’nyk I. V., Yarmola H. P. Analysis of the convergence of a combined method for the solution of nonlinear equations // J. Math. Sci. – 2014. – 201, No. 1. – P. 32–43. – https://doi.org/10.1007/s10958-014-1971-3

Шахно С. М., Ярмола Г. П. Двоточковий метод для розв’язування нелiнiйних рiвнянь з недиференцiйовним оператором // Мат. студiї. – 2011. – 36, № 2. – С. 213–220.

Argyros I. K. A unifying local-semilocal convergence analysis and applications for two-point Newton-like methods in Banach space // J. Math. Anal. Appl. – 2004. – 298, No. 2. – P. 374–397. – https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.04.008

Argyros I. K., Shakhno S. Extended local convergence for the combined Newton–Kurchatov method under the generalized Lipschitz conditions // Mathematics. – 2019. – 7, No. 2. – Article 207, 12 p. – https://doi.org/10.3390/math7020207

Avery P., Farhat C. The FETI family of domain decomposition methods for inequality-constrained quadratic programming: Application to contact problems with conforming and nonconforming interfaces // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2009. – 198, No. 21-26. – P. 1673–1683. – https://doi.org/10.1016/j.cma.2008.12.014

Chen X., Nashed Z., Qi L. Smoothing methods and semismooth methods for nondifferrentiable operator equations // SIAM J. Numer. Anal. – 2000. – 38, No. 4. – P. 1200–1216.

Dostál Z., Kozubek T., Vondrák V., Brzobohatý T., Markopoulos A. Scalable TFETI algorithm for the solution of multibody contact problems of elasticity // Int. J. Numer. Meth. Eng. – 2010. – 82, No. 11. – P. 1384–1405. – https://doi.org/10.1002/nme.2807

Dyyak I. I., Prokopyshyn I. I., Prokopyshyn I. A. Penalty Robin–Robin domain decomposition methods for unilateral multibody contact problems of elasticity: Convergence results // http://arxiv.org/pdf/1208.6478v1.pdf – 2012. – 32 p.

Haslinger J., Kučera R., Sassi T. A domain decomposition algorithm for contact problems: Analysis and implementation // Math. Model. Nat. Phenom. – 2009. – 4, No 1. – P. 123–146. – https://doi.org/10.1051/mmnp/20094106

Hernández M. A., Rubio M. J. The secant method for nondifferentiable operators // Appl. Math. Lett. – 2002. – 15, No. 4. – P. 395–399. – https://doi.org/10.1016/S0893-9659(01)00150-1

Hintermüller M., Ito K., Kunisch K. The primal-dual active set strategy as semismooth Newton method // SIAM J. Optim. – 2002. – 13, No. 3. – P. 865–888.

Kikuchi N., Oden J. T. Contact problem in elasticity: A study of variational inequalities and finite element methods. – Philadelphia: SIAM, 1988. – xiii+495 p.

Koko J. Uzawa block relaxation domain decomposition method for a two-body frictionless contact problem // Appl. Math. Lett. – 2009. – 22, No. 10. – P. 1534–1538. – https://doi.org/10.1016/j.aml.2009.03.021

Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A. Domain decomposition methods for problems of unilateral contact between elastic bodies with nonlinear Winkler covers // Lect. Notes Comput. Sci. Eng. – 2014. – 98. – P. 739–748.

Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A. Penalty Robin–Robin domain decomposition schemes for contact problems of nonlinear elasticity // Lect. Notes Comput. Sci. Eng. – 2013. – 91. – P. 647–654.

Shakhno S. M. On an iterative algorithm with superquadratic convergence for solving nonlinear operator equations // J. Comput. Appl. Math. – 2009. – 231, No. 1. – P. 222–235. – https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.02.010

Ulbrich M. Semismooth Newton methods for operator equations in function spaces // SIAM J. Optim. – 2002. – 13, No. 3. – P. 805–842.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.