Дослідження методами декомпозиції області контакту пружних тіл, одне з яких має тонке покриття, з’єднане з тілом через нелінійний вінклерівський шар

І. І. Прокопишин, А. О. Стягар

Анотація


Розглянуто задачу про контактну взаємодію двох пружних тіл, одне з яких має покриття у вигляді тонкої оболонки типу Тимошенка, що з’єднане з тілом через нелінійний вінклерівський прошарок. Здійснено слабке формулювання цієї задачі у вигляді нелінійного варіаційного рівняння. Запропоновано клас ітераційних методів декомпозиції області, які зводять розв’язування цього рівняння до розв’язування на кожній ітерації незалежних лінійних варіаційних рівнянь, що відповідають задачам теорії пружності для масивних тіл та задачі теорії оболонок Тимошенка для покриття з крайовими умовами Робіна на межах контакту. Встановлено умови слабкої збіжності цих методів. Проведено дослідження числової ефективності отриманих алгоритмів з використанням скінченноелементних апроксимацій.

 

Зразок для цитування: І. І. Прокопишин, А. О. Стягар, “Дослідження методами декомпозиції області контакту пружних тіл, одне з яких має тонке покриття, з’єднане з тілом через нелінійний вінклерівський шар,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 62, No. 1, 92–111 (2019).

Translation: І. І. Prokopyshyn, А. О. Styahar, “Investigation of contact between elastic bodies one of which has a thin coating connected with the body through a nonlinear Winkler layer by the domain decomposition methods”, J. Math. Sci., 258, No. 4, 477–506 (2021), https://doi.org/10.1007/s10958-021-05562-5


Ключові слова


контактні задачі теорії пружності, тонкі покриття, оболонки Тимошенка, вінклерівські шари, нелінійні варіаційні рівняння, методи декомпозиції області, метод скінченних елементів

Посилання


Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. – Москва: Наука, 1983. – 487 с.

Александров В. М., Пожарский Д. А. Трехмерные контактные задачи для упругого клина с покрытием // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, № 1. – С. 103–109.

Александров В. М., Пожарский Д. А. Трехмерные контактные задачи при учете трения и нелинейной шероховатости // Прикл. математика и механика. – 2004. – 68, № 3. – С. 516–527.

Блох М. В., Оробинский A. B. О модификации метода конечных ýлементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач // Проблемы прочности. – 1983. – № 5. – С. 24–27.

Винницька Л. І. Математичне моделювання механіки деформування пружних тіл з тонкими м’якими включеннями: Дис. … канд. фіз.-мат. наук. – Львів, 2009. – 153 с.

Винницька Л., Савула Я. Напружено-деформований стан пружного тіла з тонким включенням // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2008. – Вип. 7. – С. 21–29.

Григоренко А. Я., Дыяк И. И., Матысяк С. И., Прокопышин И. И. Методы декомпозиции области для решения задач контакта без трения многослойных упругих тел // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 4. – С. 25–37. Те саме: Grigorenko A. Ya., Dyyak I. I., Matysyak S. I., Prokopyshyn I. I. Domain decomposition methods applied to solve frictionless-contact problems for multilayer elastic bodies // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, No. 4. – P. 388–399.

Дияк І. І., Прокопишин І. І. Збіжність паралельної схеми Неймана методу декомпозиції області для задач контакту без тертя декількох пружних тіл // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2009. – 52, № 3. – С. 78–89. Те саме: Dyyak I. I., Prokopyshyn I. I. Convergence of the Neumann parallel scheme of the domain decomposition method for problems of frictionless contact between several elastic bodies // J. Math. Sci. – 2010. – 171, No. 4. – P. 516–533.

Дюво Г., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. – Москва: Наука, 1980. – 383 с. Те саме: Duvaut G., Lions J.-L. Les inéquations en mécanique et en physique. – Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1972. – xx+387 p.

Зайцев В. И., Щавелин В. М. Метод решения контактных задач с учетом реальных свойств шероховатых поверхностей взаимодействующих тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1989. – № 1. – С. 88–94.

Коваленко Е. B. Контактные задачи для тел с покрытиями // Механика контактных взаимодействий / Под. ред. И.  И. Воровича, В. М. Александрова. – Москва: Физматлит. – С. 459–475.

Кравчук А. С. Нелокальный контакт шероховатых тел по эллиптической области // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 3. – С. 42–52.

Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // Прикл. математика и механика. – 1978. – 42, № 3. – C. 467–474.

Кузьменко В. И. О вариационном подходе в теории контактных задач для нелинейно-упругих слоистых тел // Прикл. математика и механика. – 1979. – 43, № 5. – C. 893–901.

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 588 с.

Мартиняк Р. М., Прокопишин І. А., Прокопишин І. І. Контакт пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 3. – С. 43–56. Те саме: Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A., Prokopyshyn I. I. Contact of elastic bodies with nonlinear Winkler surface layers // J. Math. Sci. – 2015. – 205, No. 4. – P. 535–553.

Мартиняк Р. М., Швець Р. М. Математична модель механічного контакту тіл через тонкий неоднорідний прошарок // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. – 40, № 2. – С. 107–109. Те саме: Martinyak R. M., Shvets’ R. M. A mathematical model of mechanical contact of bodies across a thin inhomogeneous layer // J. Math. Sci. – 1998. – 90, No. 2. – P. 2000–2002.

Мартиняк Р. М., Швець Р. М. Умови теплового контакту тіл через тонкі неоднорідні за товщиною прошарки // Доп. НАН України. – 1996. – № 9. – С. 74–76.

Мхитарян С. М., Шекян А. Л., Шекян Л. А. Вдавливание круглого штампа в упругое шероховатое полупространство // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2009. – № 5. – С. 90–98.

Пелех Б. Л. Обобщенная теория оболочек. – Львов: Вища шк., 1978. – 156 с.

Пелех Б. Л., Максимук А. В., Коровайчук И. М. Контактные задачи для слоистых элементов конструкций и тел с покрытиями. – Киев: Наук. думка, 1988. – 280 с.

Подгорный А. Н., Гонтаровский П. П., Киркач Б. Н., Матюхин Ю. И., Хавин Г. Л. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций. – Киев: Наук. думка, 1989. – 232 с.

Прокопишин И. А., Хлебников Д. Г. Эквивалентные вариационные постановки односторонних контактных задач для упругих тел при наличии нелинейного поверхностного слоя // Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела: Тез. докл. респ. науч.-техн. конф. – Харьков, ХИСИ, 1989. – С. 83–85.

Прокопишин І. І. Схеми декомпозиції області на основі методу штрафу для задач про ідеальний контакт пружних тіл // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2014. – 57, № 1. – С. 41–56. Те саме: Prokopyshyn I. I. Domain decomposition schemes based on the penalty method for the problems of perfect contact of elastic bodies // J. Math. Sci. – 2016. – 212, No. 1. – P. 46–66.

Прокопишин І. Контактна взаємодія пружних тіл, одне з яких має покриття, з’єднане з основою через вінклерівський прошарок // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2016. – Вип. 23. – С. 144–160.

Прокопишин І. Методи декомпозиції області для задачі про статичну рівновагу системи пружних тіл, з’єднаних через тонкі нелінійні прошарки // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2015. – Вип. 21. – С. 173–185.

Прокопишин І. Методи декомпозиції області для задач про односторонній контакт нелінійно пружних тіл // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2012. – Вип. 15. – С. 75–87.

Прокопишин І. Паралельні схеми методу декомпозиції області для контактних задач теорії пружності без тертя // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикл. математика та інформатика. – 2008. – Вип. 14. – C. 123–133.

Прокопишин І. І., Дияк І. І., Мартиняк Р. М. Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2013. – 49, № 1. – С. 46–55. Те саме: Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M. Numerical analysis of the problems of contact of three elastic bodies by the domain decomposition methods // Mater. Sci. – 2013. – 49, No. 1. – P. 45–58.

Савула Я. Г., Дыяк И. И., Дубовик А. В. Применение комбинированной модели для расчета напряженно-деформированного состояния пространственных конструкций // Прикл. механика. – 1989. – 25, № 9. – С. 62–67. Те саме: Savula Ya. G., Dyyak I. I., Dubovik A. V. Use of a combination model to calculate the stress-strain state of three-dimensional structures // Int. Appl. Mech. – 1989. – 25, No. 9. – P. 904–909.

Стягар А. О., Савула Я. Г., Дияк І. І. Числовий аналіз напружено-деформованого стану тіла з тонким включенням методом декомпозиції області // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2014. – 57, № 3. – С. 119–131. Те саме: Styahar A. O., Savula Ya. H., Dyyak I. I. Numerical analysis of the stressstrain state of a body with thin inclusion by the domain decomposition method // J. Math. Sci. – 2016. – 217, No. 3. – P. 283–298.

Сулим Г. Т. Основи математичної теорії термопружної рівноваги деформівних твердих тіл з тонкими включеннями. – Львів: Досл.-видавн. центр НТШ, 2007. – 716 с.

Avery P., Farhat C. The FETI family of domain decomposition methods for inequalityconstrained quadratic programming: Application to contact problems with conforming and nonconforming interfaces // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. – 2009. – 198, No. 21-26. – P. 1673–1683.

Dostál Z., Kozubek T., Vondrák V., Brzobohatý T., Markopoulos A. Scalable TFETI algorithm for the solution of multibody contact problems of elasticity // Int. J. Numer. Methods Eng. – 2010. – 82, No. 11. – P. 1384–1405.

Dyyak I. I., Prokopyshyn I. I., Prokopyshyn I. A. Convergence of penalty Robin–Robin domain decomposition methods for unilateral multibody contact problems of elasticity // http://arxiv.org/pdf/1208.6478.pdf – 2015. – 33 p.

Dyyak I. I., Savula Ya. H. D-adaptive mathematical model of solid body with thin coating // Мат. студії. – 1997. – 7, № 1. – C. 103–109.

Dyyak I., Savula Ya., Styahar A. Numerical investigation of a plain strain state for a body with thin cover using domain decomposition // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2012. – № 3 (109). – C. 23–33.

Haslinger J., Kučera R., Sassi T. A domain decomposition algorithm for contact problems: Analysis and implementation // Math. Model. Nat. Phenom. – 2009. – 4, No. 1. – P. 123–146.

Kikuchi N., Oden J. T. Contact problem in elasticity: A study of variational inequalities and finite element methods. – Philadelphia: SIAM, 1988. – xiii+495 p.

Koko J. Uzawa block relaxation domain decomposition method for a two-body frictionless contact problem // Appl. Math. Lett. – 2009. – 22. – P. 1534–1538.

Makar I., Savula Ya., Styahar A. Numerical analysis of a multiscale model of the elastic body with the thin cover // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2012. – Вип. 15. – С. 49–55.

Pasternak Ia., Sulym H. Stress state of solids containing thin elastic crooked inclusions // J. Eng. Math. – 2013. – 78, No. 1. – P. 167–180.

Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A. Domain decomposition methods for problems of unilateral contact between elastic bodies with nonlinear Winkler covers // Lect. Notes Comput. Sci. Eng. – 2014. – 98. – P. 739–748.

Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A. Penalty Robin–Robin domain decomposition schemes for contact problems of nonlinear elasticity // Lect. Notes Comput. Sci. Eng. – 2013. – 91. – P. 647–654.

Riederer K., Duenser C., Beer G. Simulation of the linear inclusions with the BEM // Eng. Anal. Bound. Elem. – 2009. – 33, No. 7. – P. 959–965.

Savula Ya. H., Dyyak I. I., Krevs V. V. Heterogeneous mathematical models in numerical analysis of structures // Comput. Math. Appl. – 2001. – 42, No. 8-9. – P. 1201–1216.

Styahar A. Numerical analysis of the Girkmann problem with FEM/BEM coupling using domain decomposition // Журн. обчисл. та прикл. математики. – 2014. – № 2(116). – C. 141–151.

Styahar A., Savula Ya. On the convergence of domain decomposition algorithm for the body with thin inclusion // Acta Mechanica et Automatica. – 2015. – 9, No. 1. – P. 27–32.


Повний текст: PDF

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.