Лінійні матричні різносторонні рівняння над квадратичними кільцями з інволюцією

H. V. Zelisko, N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych

Анотація


Встановлено необхідні та достатні умови існування розв’язків лінійних матричних рівнянь типу Сильвестра над квадратичними кільцями $K=\mathbb{Z}[\sqrt k]$ з інволюцією. Вказано критерій існування та єдиності цілочислових розв’язків, тобто розв’язків над кільцем цілих чисел $\mathbb{Z}$ таких рівнянь. Умови наведені в термінах еквівалентності матриць із елементами з кільця цілих чисел, які побудовані з коефіцієнтів матричного рівняння з використанням кронекерівського добутку матриць.

 

Зразок для цитування: Г. В. Зеліско, Н. Б. Ладзоришин, В. М. Петричкович, “Лінійні матричні різносторонні рівняння над квадратичними кільцями з інволюцією,” Прикл. проблеми механіки і математики, Вип. 21, 5–16 (2023), https://doi.org/10.15407/apmm2023.21.5-16

Ключові слова


квадратичне кільце, інволюція, кронекерівський добуток матриць, еквівалентність матриць, матричне рівняння, розв’язок рівняння

Посилання


F. R. Gantmacher, The Theory of Matrices [in Russian], Nauka, Moscow (1988).

V. R. Zelisko, “Matrices and matrix equations over polynomial ring with involution,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., No. 8, 18–22 (2010) (in Ukrainian).

V. R. Zelisko, M. I. Kuchma, ”The relationship between different kinds of involutions in rings of matrices,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., No. 7, 57–61 (2009) (in Ukrainian).

V. R. Zelisko, M. I. Kuchma, ”On the existence of unique solutions of linear matrix equations over rings with involutions,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., No. 13, 7–10 (2015) (in Ukrainian).

P. S. Kazimirs’kii, Factorization of Matrix Polynomials [in Ukrainian], Pidstryhach Institute for Applied Problems in Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv (2015).

N. B. Ladzoryshyn, “Integer solutions of matrix linear unilateral and bilateral equations over quadratic rings,” Mat. Metody Fiz.-Mekh. Polya, 58, No. 2, 47–54 (2015) (in Ukrainian); English translation: J. Math. Sci., 223, No. 1, 50–59 (2017), https://doi.org/10.1007/s10958-017-3337-0

N. Ladzoryshyn, V. Petrychkovych, “Matrix linear unilateral and bilateral equations over quadratic rings,” Visn. L’viv. Univ. Ser. Mekh.-Mat., 85, 32–40 (2018) (in Ukrainian), https://doi.org/10.30970/vmm.2018.85.032-040

B. D. Lyubachevskii, “Factorization of symmetric matrices with elements from a ring with involution,” Sib. Mat. Zh., 14, No. 2, 337–356 (1973) (in Russian); English translation: Sib. Math. J., 14, No. 2, 233–246 (1973).

K. A. Rodosskii, Euclidean Algorithm [in Russian], Nauka, Moscow (1988).

Drensky V., Grianbruno A. “On the *-polynomial identities of minimal degree for matrices with involution,” Boll. Un. Mat. Ital., A(7) 9, No. 3, 471–482 (1995).

N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych, “The matrix linear unilateral and bilateral equtions with two variables over commutative rings,” Int. Scholar. Rеs. Notices, ISRN Algebra, 2012, Article ID 205478, 14 p. (2012).

N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych,” Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure,” Algebra Discrete Math., 27, No. 2, 243–251 (2019).

Gustafson W. H. “Roth’s theorems over commutative rings,” Linear Algebra Appl., 23, 245–251 (1979), https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X

T. Kaczorek, Polynomial and Rational Matrices. Applications in Dynamical Systems Theory, Springer, London (2007), https://doi.org/10.1007/978-1-84628-605-6

M.-A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.-P. Tignol, The Book of Involutions, AMS, Coll. Publ., Vol. 44 (1998), https://doi.org/10.1090/coll/044

N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych, H. V. Zelisko, “ Matrix Diophantine equations over quadratic rings and their solutions,” Karpat. Mat. Publ., 12, No. 2, 368–375 (2020), https://doi.org/10.15330/cmp.12.2.368-375

P. Lancaster, M. Tismenetsky, The Theory of Matrices, Academic Press, New York (1985).

V. M. Petrichkovich, “Cell-triangular and cell-diagonal factorizations of cell-triangular and cell-diagonal polynomial matrices,” Mat. Zametki, 37, No. 6, 789–796 (1985); English translation: Math. Notes, 37, No. 6, 431–435 (1985).

T. Rashkova, “Nilpotency in involution matrix algebras over algebras with involution,” in: Mathematics and education in mathematics – 2009, Proc. of the 38th Spring Conference of the Union of Bulgarian Mathematicians (Borovetz, April 1–5, 2009), p. 143–150 (2009).

Roth W. E. “The equations AX-YB=C and AX-XB=C in matrices,” Proc. Amer. Math. Soc., 3, No. 3, 392–396 (1952), https://doi.org/10.2307/2031890

J. R. Silvester, “Determinants of block matrices,” Math. Gaz., 84, No. 501, 460–467 (2000), http://doi.org/10.2307/3620776

S. Tumurbat, R. Wiegandt, “A-radicals of involution rings,” Southeast Asian Bull. Math., 29, No. 2, 393–399 (2005).

B. Zhou, Z. B. Yan, G. R. Duan, “Unified parametrization for the solutions to the polynomial Diophantine matrix equation and the generalized Sylvester matrix equation,” Int. J. Control. Autom. Syst., 8, No. 1, 29–35 (2010), https://doi.org/10.1007/s12555-010-0104-0


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.