Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка

M. M. Khomyak

Анотація


Згинання пластини-смуги поперечним постійним навантаженням розглянуто як тестову задачу для методу скінченних елементів (МСЕ) з використанням B-сплайнів. Диференціальні рівняння з крайовими умовами та відповідні варіаційні формулювання наведено для тонкої пластини-смуги в межах класичної теорії (гіпотези Кірхгофа–Лява) та для податливих до поперечного зсуву пластин (гіпотези С. П. Тимошенка). За плоского деформованого стану розглянуто B-сплайни як одновимірні базисні функції, які мають вищий порядок гладкості, ніж стандартні апроксимації МСЕ (на основі поліномів Лагранжа). Для врахування однорідних крайових умов декілька базисних B-сплайнів, носії яких виходять за межі заданої області, потребують модифікації, яку виконано за допомогою техніки кратних вуз-лів, за якою отримуємо відкриті B-сплайни. Обчислено внески в матрицю жорсткості одиничного елемента розбиття від інтегралів базисних функцій та їхніх похідних. Продемонстровано процедуру асемблювання елементів для формування глобальної системи лінійних алгебричних рівнянь. Отримані результати порівняно з аналітичними розв’язками й зауважено їхнє добре узгодження. Ці аналітичні й методологічні напрацювання перспективні для застосування в TDD (Test Driven Development) методології створення програмного забезпечення, зокрема, й для двовимірних моделей.

 

Зразок для цитування: М. М. Хом’як, “Тестування схем методу скінченних елементів з використанням B-сплайнів для пластини-смуги в межах гіпотез Кірхгофа–Лява та Тимошенка,” Прикл. проблеми механіки і математики, Вип. 20, 61–76 (2022), https://doi.org/10.15407/apmm2022.20.61-76

Ключові слова


пластина-смуга, метод скінченних елементів, B-сплайни, тестування програмного забезпечення

Посилання


O. V. Maksymuk, R. M. Makhnitskyi, N. M. Shcherbyna, Mathematical Modeling and Methods for the Numerical Analysis of Thin-Walled Composite Structures [in Ukrainian], Pidstryhach Institute for Applied Problems in Mechanics and Mathematics, Ukrainian National Academy of Sciences, Lviv (2005).

T. V. Goriachko, O. F. Lesyk, M. V. Marchuk, V. S. Pakosh, “Free geometrically nonlinear vibrations of elongated corrugated cylindrical panels,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 15, 180–184 (2017) (in Ukrainian).

M. V. Marchuk, V. S. Pakosh, V. M. Kharchenko, “Thermoelastic state of uniformly heated hinged at the ends of the lower front plane of the composite plate-strip,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 13, 182–186 (2015) (in Ukrainian).

M. V. Marchuk, M. M. Khomyak, Mixed scheme of finite element method for calculation of layer composite shells and plates [in Ukrainian], IAPMM, NAS of Ukraine, Lviv (2003).

V. A. Osadchuk, M. V. Marchuk, “Mathematical model of dynamic deformation of composite plates compliant to shear and compression,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 3, 43–50 (2005) (in Ukrainian).

V. S. Pakosh, V. M. Kharchenko, M. M. Khomyak, O. F. Lesyk, “The influence of pliability to transversal compression on the deformability of a hinged plate-strip,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 18, 139–143 (2020) (in Ukrainian), https://doi.org/10.15407/apmm2020.18.139-143

B. L. Pelekh, Theory of Shells with Finite Shear Stiffness [in Russian], Nauk. Dumka, Kiev (1973).

Ya. Savula. Numerical Analysis of Mathematical Physics Problems by Variational methods [in Ukrainian], Ivan Franko National University of Lviv, Lviv (2004).

V. Fourman, M. Khomyak, Ya. Marko, “Long arithmetic in Excel. III. Solution of systems of linear algebraic equations for test problems of the finite element modelling,” Electronics and information technologies, Issue 12, 39–48 (2019) (in Ukrainian), http://doi.org/10.30970/eli.12.4

V. M. Kharchenko, M. V. Marchuk, V. S. Pakosh, “ Variant of refined theory of minimum order for plates pliable to shear and compression,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Issue 14, 107–112 (2016) (in Ukrainian).

J. A. Cottrell, T. J. R. Hughes, Y. Bazilevs, Isogeometric Analysis: Toward Integration of CAD and FEA, John Wiley & Sons, Chichester, UK (2009), https://doi.org/10.1002/9780470749081

C. De Boor, A Practical Guide to Splines, Springer-Verlag, New York (2001).

K. Höllig, Finite Element Methods with B-Splines, Ser. Frontiers in Applied Mathematics 26, SIAM, Philadelphia (2003), https://doi.org/10.1137/1.9780898717532

List of finite element software packages, https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_element_software_packages

W. K. Liu, S. Li, H. S. Park, “Eighty years of the finite element method: birth, evolution, and future,” Arch. Comput. Meth. Eng., 29, 4431–4453 (2022). https://doi.org/10.1007/s11831-022-09740-9

G .R. Liu, Meshfree methods. Moving Beyond the Finite Element Method, CRC Press, Boca Raton (2010), https://doi.org/10.1201/9781420082104

L. Madeyski, Test-Driven Development. An Empirical Evaluation of Agile Practice, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2010), https://doi.org/10.1007/978-3-642-04288-1

M. V. Marchuk, V. S. Pakosh, “The influence of pliability to shear and compression on the deformability of uniformly heated composite plate-strip,” Sci. and Education a New Dimension, Ser. Nat. Tech. Sci., III(8), Issue 73, 79–81. 2015 (in Ukrainian).

N. J. Pagano, “Exact solutions for composite laminates in cylindrical bending,” J. Comp. Mat., 3, No. 3, 398–411 (1969), https://doi.org/10.1177/002199836900300304

J. N. Reddy, Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells, CRC Press, Boca Raton (2006), https://doi.org/10.1201/9780849384165

R. Szilard, Theories and Applications of Plate Analysis: Classical, Numerical and Engineering Methods, John Wiley & Sons, Hoboken (2004), https://doi.org/10.1002/9780470172872

D. F. Rogers, An Introduction to NURBS with Historical Perspective, Elsevier, New York (2004), https://doi.org/10.1016/B978-1-55860-669-2.X5000-3

I. M. Smith, D. V. Griffiths, L. Margetts, Programming the Finite Element Method, John Wiley & Sons, Chichester, UK (2015), https://doi.org/10.1002/9781119189237


Повний текст: PDF

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.