Classification of minimal and maximal non-serial positive posets

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina

Анотація


Класифікація мінімальних і максимальних несерійних додатних частково впорядкованих множин

Скінченні частково впорядковані множини з додатною квадратичною формою Тітса, які називаються додатними, є аналогами діаграм Динкіна. Вони вперше описані в 2005 р. авторами. За цим результатом така множина може бути серійною, якщо вона належить нескінченній строго зростаючій послідовності додатних частково впорядкованих множин, або несерійною, якщо це не так. У наступні роки авторами були вивчені різні класи частково впорядкованих множин, які пов'язані з квадратичною формою Тітса. У цій статті додатні частково впорядковані множини вивчаються більш детально, а саме відносно їхньої впорядкованості. Основні теореми класифікують всі несерійні додатні частково впорядковані множини, які є максимальними або мінімальними. Випадок серійних частково впорядкованих множин є тривіальним: максимальних множин немає взагалі, а всі міні­маль­ні є одноелементними. Кількість несерійних мінімальних частково впорядкованих множин з точністю до ізоморфізму та дуальності становить 10, а максимальних – 66 (із загальної кількості 108).


Ключові слова


квадратна форма Тітса, додатна частково впорядкована множина, серійні і несерійні частково впорядковані множини, мінімальні і максимальні несерійні частково впорядковані множини, діаграма Динкіна

Посилання


V. M. Bondarenko, “Minimax equivalence method: initial ideas, first applications and new concepts,” Algebra Discrete Math., 38, No. 1, 1–22 (2024), http://doi.org/10.12958/adm2332

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina, “On posets of width two with positive Tits form,” Algebra Discrete Math., 4, No. 2, 20–35 (2005).

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina, "(Min, max)-equivalence of posets and quadratic Tits form," in: Problems of Analysis and Algebra: Zb. Pr. Inst. Mat. Nats. Akad. Nauk Ukr., 2, No. 3, 18–58 (2005) (in Russian).

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina, “On finite posets of inj-finite type and their Tits forms,” Algebra Discrete Math., 5, No. 2, 17–21 (2006).

V. M. Bondarenko, M. V. Stepochkina, “On serial posets with positive-definite quadratic Tits form,” Nelin. Kolyv., 9, No. 3, 320–325 (2006) (in Ukrainian); English translation: Nonlin. Oscil., 9, No. 3, 312–316 (2006), https://doi.org/10.1007/s11072-006-0045-y

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina, “Combinatorial properties of non-serial posets with positive Tits quadratic form,” Algebra Discrete Math., 36, No. 1, 1–13 (2023), https://doi.org/10.12958/adm2151

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina. “On transitivity coefficients for minimal posets with non-positive quadratic Tits form,” Mat. Met. Fiz. Mekh. Polya, 64, No. 1, 5–14 (2021), https://doi.org/10.15407/mmpmf2021.64.1.5-14; Reprinted as: V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina, “On the transitivity coefficients for minimal posets with nonpositive quadratic Tits form,” J. Math. Sci., 274, No. 5, 583–593 (2023), https://doi.org/10.1007/s10958-023-06624-6

Yu. A. Drozd, “Coxeter transformations and representations of partially ordered sets,” Funkts. Anal. Prilozhen., 8, No. 3, 34–42 (1974) (in Russian); English translation: Funct. Anal. Appl., 8, No. 3, 219–225 (1974), https://doi.org/10.1007/BF01075695

P. Gabriel, “Unzerlegbare Darstellungen I,” Manuscripta Mathematica, 6, 71–103 (1972), https://doi.org/10.1007/BF01298413

M. M. Kleiner, “Partially ordered sets of finite type,” Zap. Nauch. Semin. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov, 28, 32–41 (1972) (in Russian); English translation: J. Sov. Math., 3, No. 5, 607–615 (1975), https://doi.org/10.1007/BF01084663

L. A. Nazarova, A. V. Roiter, “Representations of partially ordered sets,” Zap. Nauch. Semin. LOMI, 28, 5–31 (1972) (in Russian); English translation: J. Sov. Math., 3, No. 5, 585–606 (1975); https://doi.org/10.1007/BF01084662


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.