Σ-функції категорій матричних зображень нільпотентних напівгруп

V. M. Bondarenko, O. V. Zubaruk

Анотація


Досліджуються категорії матричних зображень нільпотентних напівгруп над довільним полем. Основна увага приділяється матричним алгебрам Ауслендера як одній із форм задання категорій зображень, що мають скінченне число класів еквівалентності нерозкладних об’єктів, і їхнім дискретним характеристикам. Поняття алгебри Ауслендера узагальнюється на категорії зображень без додаткових умов. Для довільної нільпотентної циклічної напівгрупи описано її алгебру Ауслендера та обчислено її Σ-функцію.

 

Зразок для цитування: В. М. Бондаренко, О. В. Зубарук, “Σ-функції категорій матричних зображень нільпотентних напівгруп,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 65, No. 1-2, 5–17 (2022), https://doi.org/10.15407/mmpmf2022.65.1-2.5-17


Ключові слова


нільпотентна напівгрупа, циклічна напівгрупа, ідеал, матричне зображення, пряма сума, клітка Жордана, еквівалентність, категорія, скелет і хребет категорії, алгебра Ауслендера, Σ-функція

Посилання


V. A. Bashev, “Representations of the group Z_2 x Z_2 in a field of characteristic 2,” Dokl. Akad. Nauk SSSR 141, 1015-1018 (1961); English translation: Sov. Math., Dokl. 2, 1589-1593 (1961).

V. M. Bondarenko, Representations of Gelfand Graphs [in Ukrainian], Inst. Math., NAS of Ukraine (2005).

V. M. Bondarenko, “On the similarity of matrices over a ring of the classes of residues,” in: Mat. Sb. Inst. Mat. Akad. Nauk UkrSSR [in Russian], Kiev (1976), pp. 275–277.

V. M. Bondarenko, “Representations of dihedral groups over a field of characteristic 2,” Mat. Sb. (N. S.), 96(138), No. 1, 63–74 (1975); English translation: Math. USSR Sb., 25, No. 1, 58–68 (1976); http://doi.org/10.1070/SM1975v025n01ABEH002197

V. M. Bondarenko, “Representations of bundles of semichained sets and their applications,” Algebra Anal., 3, No. 5, 38-61 (1991); English translation: St. Petersburg. Math. J., 3, No. 5, 973-996 (1992).

V. M. Bondarenko, “On classification of the modular representations of generalized quaternion groups,” Dop. Nats. Akad. Nauk Ukr., Ser. Mat. Pryr. Tekhn. Nauky, 2004, No. 11, 11-16 (2004) (in Ukrainian).

V. M. Bondarenko, Yu. A. Drozd, “Representation type of finite groups,” Zap. Nauch. Semin. LOMI, 71, 24-41 (1977); English translation: J. Sov. Math., 20, No. 6, 2515-2528 (1982), https://doi.org/10.1007/BF01681468

V. M. Bondarenko, O. V. Zubaruk, "Σ-function of number of parameters for a system of matrix representations: initial concepts and examples", Proc. Inst. Math. Nat. Acad. Sci. Ukr., 12, No. 3, 56-64 (2015) (in Ukrainian).

V. M. Bondarenko, I. V. Litvinchuk, “On some tame and wild matrix problems of constant rank,” Nauk. Visn. Uzhgorod. Univ., Ser. Mat. Inf., 23, No. 1, 17-25 (2012) (in Russian).

P. Gabriel, A. V. Roiter, “Representations of finite-dimensional algebras,” in: “Algebra–8”, Itogi Nauki I Tekhniki, Ser. Sovr. Napr. Mat., Fundam. Naprav., Vol. 73, Moscow (2003), pp. 5–224; [in English]: Ser. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 73, Springer–Verlag, Berlin (1992).

F. R. Gantmacher, The theory of matrices, Vol. 1, 2, Chelsea Publ. Co., New York (1959).

I. M. Gel’fand, V. A. Ponomarev, “Indecomposable representations of the Lorentz group,” Usp. Mat. Nauk, 23, No. 2 (140), 3–60 (1968); English translation: Russ. Math. Surv. 23, No. 2, 1-58 (1968), https://doi.org/10.1070/RM1968v023n02ABEH001237

A. G. Zavadskii, “Differentiation algorithm and classification of representations,” Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 55, No. 5, 1007-1048 (1991); English translation: Math. USSR Izv. 39, No. 2, 975-1012 (1992), https://doi.org/10.1070/IM1992v039n02ABEH002234

O. V. Zubaruk, “On the Auslander algebra of one commutative semigroup of finite representation type,” Prykl. Probl. Mekh. Mat., Iss. 18, 43–47 (2020) (in Ukrainian), https://doi.org/10.15407/apmm2020.18.43-47

V. V. Kirichenko, “Classification of pairs of mutually annihilating operators in a graded space and representations of the diad of generalized uniserial algebras,” Nauchn. Semin. LOMI, 75, 91-109 (1978); English translation: J. Sov. Math., 37, 977-990 (1987), https://doi.org/10.1007/BF01089091

S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer, New York (1998).

L. A. Nazarova, “Representations of quivers of infinite type,” Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 37, No. 4, 752-791 (1973) (in Russian); English translation: Math. USSR Izv., 7, No. 4, 749–792 (1973), https://doi.org/10.1070/IM1973v007n04ABEH001975

L. A. Nazarova, A. V. Roiter, Categorical matrix problems and the Brauer – Thrall conjecture, Naukova Dumka, Kiev (1973); German translation: Mitt. Math. Sem. Giessen, 115 (1975).

V. M. Petrychkovych, Generalized Equivalence of Matrices and Their Collections and Factorization of Matrices Over Rings [in Ukrainian], IAPMM, NAS of Ukraine, Lviv (2015).

V. V. Sergeichuk, “Canonical form of the matrix of a bilinear form over an algebraically closed field of characteristic 2,” Mat. Zametki, 41, No. 6, 781–788 (1987); English translation: Math. Notes, 41, 441–445 (1987), https://doi.org/10.1007/BF01158384

M. Auslander, I. Reiten, “Applications of contravariantly finite subcategories,” Adv. Math., 86, No. 1, 111–152 (1991), https://doi.org/10.1016/0001-8708(91)90037-8.

V. M. Bondarenko, “Linear operators on S-graded vector spaces,” Linear Algebra Appl., 365, No. 5, 45–90 (2003), https://doi.org/10.1016/S0024-3795(02)00689-4

V. M. Bondarenko, M. Yu. Bortos, R. F. Dinis, A. A. Tylyshchak, “Reducibility and irreducibility of monomial matrices over commutative rings,” Algebra Discrete Math., 16, No. 2, 171–187 (2013).

V. M. Bondarenko, M. V. Styopochkina, “On finite posets of inj-finite type and their Tits forms,” Algebra Discrete Math., 5, No. 2, 17–21 (2006).

K. Bongartz, M. Kettler, C. Riedtmann, “On module categories where the hom-order and the stable hom-relation coincide,” J. Algebra, 299, No. 1, 219–225 (2006), https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2005.06.025

P. Donovan, M. R. Freislich, “The representation theory of finite graphs and associated algebras,” Carleton Lecture Notes, No. 5, 3–86 (1973).

Ju. A. Drozd, “Tame and wild matrix problems,” Representation Theory II, Vol. 832 of Lect. Notes Math., Springer, 242–258 (1980), https://doi.org/10.1007/BFb0088467

Yu. A. Drozd, “On $K_0$ of locally finite categories,” J. Algebra, 596, 289–310 (2022), https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2022.01.010

P. Gabriel, “Categories and representations,” J. Pure Appl. Algebra, 154, No. 1-3, 177–191 (2000), https://doi.org/10.1016/S0022-4049(99)00182-6

P. Gabriel, “Unzerlegbare Darstellungen I,” Manuscripta Math., 6, No. 1, 71–103 (1972), https://doi.org/10.1007/BF01298413

I. M. Gelfand, V. A. Ponomarev, “Problems of linear algebra and classification of quadruples of subspaces in a finite-dimensional vector space,” Coll. Math. Societatis János Bolyai, 5, Hilbert Space Operators, Tihany (1970), pp. 63–237.

P. Jiao, “Injective objects in the category of finitely presented representations of an interval finite quiver,” Ark. Mat., 57, No. 2, 381–396 (2019), https://doi.org/10.4310/ARKIV.2019.v57.n2.a7

D. Naidu, “Some properties of the representation category of twisted Drinfeld doubles of finite groups,” Int. Electron. J. Algebra, 29, No. 29, 223–238 (2021), https://doi.org/10.24330/ieja.852237

V. Paškūnas, S.-N. Tung, “Finiteness properties of the category of mod p representations of $GL_2(Q_p)$,” Forum Math. Sigma, 9, Paper No. e80, 39 p. (2021), https://doi.org/10.1017/fms.2021.72

C. M. Ringel, “The indecomposable representations of the dihedral 2-groups,” Math. Ann., 214, 19–34 (1975), https://doi.org/10.1007/BF01428252

J. Shotton, “The category of finitely presented smooth mod $p$ representations of $GL_2(F)$,” Doc. Math., 25, 143–157 (2020), https://doi.org/10.25537/dm.2020v25.143-157

D. Simson, Linear Representations of Partially Ordered Sets and Vector Space Categories, Vol. 4 of Algebra, Logic, and Applications, Gordon & Breach Sci. Publ., Philadelphia (1993).


Повний текст: PDF

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.