Надіслати цю статтю Про подільність із остачею многочленних матриць над довільним полем
Анотація
Досліджується задача про подільність многочленних матриць із остачею над довільним полем F. Встановлено умови, за яких для пари многочленних матриць A(λ) i B(λ) над полем F існує єдина пара многочленних матриць P(λ) і Q(λ) над F таких, що B(λ)=A(λ)P(λ)+Q(λ). Наведено застосування отриманих результатів для знаходження мінімальних розв’язків матричного рівняння Сильвестра. Доведено, що неособливі многочленні матриці A(λ) i B(λ) мають взаємно прості визначники тоді й тільки тоді, коли для довільної ненульової матриці C(λ) матричне рівняння A(λ)X(λ)+Y(λ)B(λ)=C(λ) має єдиний мінімальний розв’язок.
Зразок для цитування: В. М. Прокіп, О. М. Мельник, Р. В. Коляда, “Про подільність із остачею многочленних матриць над довільним полем,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 66, No. 1-2, 23–39 (2023), https://doi.org/
Ключові слова
Посилання
F. R. Gantmacher, The Theory of Matrices [in Russian], Nauka, Moscow (1988), English translation: Chelsea Publ. Co., New York (1959).
V. M. Prokip, “Divisibility and one-sided equivalence of polynomial matrices,” Ukr. Mat. Zh., 42, No. 9, 1213–1219 (1990) (in Russian); English translation: Ukr. Math. J., 42, No. 9, 1077–1082 (1990), https://doi.org/10.1007/BF01056600
V. M. Prokip, “On the divisibility of matrices with remainder over the domain of principal ideals,” Mat. Met. Fiz.-Mekh. Polya, 60, No. 2, 41–50 (2017) (in Ukrainian); English translation: J. Math. Sci., 243, No. 1, 45–55 (2019), https://doi.org/10.1007/s10958-019-04524-2
V. M. Prokip, “On the solvability of a system of linear equations over the domain of principal ideals ,” Ukr. Mat. Zh., 66, No. 4, 566–570 (2014) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 66, No. 4, 633–637 (2014), https://doi.org/10.1007/s11253-014-0960-5
I. N. Sanov, “Euclid’s algorithm and one-sided decompositions into prime factors for matrix rings,” Sib. Mat. Zh., 8, No. 4, 846–852 (1967) (in Russian); English translation: Sov. Math. J., 8, No. 4, 640–645 (1967), https://doi.org/10.1007/BF02196485
S. Barnett, “Regular polynomial matrices having relatively prime determinants,” Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 65, No. 3, 585-590 (1969), https://doi.org/10.1017/S0305004100003364
G. Bengtsson, “Output regulation and internal models – a frequency domain approach,” Automatica, 13, No. 4, 333–345 (1977), https://doi.org/10.1016/0005-1098(77)90016-4
H.-H. Brungs, “Left Euclidean rings,” Pacific J. Math., 45, No. 1, 27–33 (1973), https://doi.org/10.2140/pjm.1973.45.27
S. Chen, Y. Tian, “On solutions of generalized Sylvester equation in polynomial matrices,” J. Franklin Inst., 351, No. 12, 5376–5385 (2014), https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2014.09.024
P. L. Clark, “A note on Euclidean order types,” Order, 32, No. 2, 157–178 (2015), https://doi.org/10.1007/s11083-014-9323-y
P. M. Cohn, Free rings and their relations, Acad. Press, London, 1985.
M. Dadhwal, Pankaj, R. P. Sharma, “On euclidean norms and factorization in ternary semi-domains,” Arya Bhatta J. Math. Inform., 14, No. 1, 13–26 (2022), http://doi.org/10.5958/2394-9309.2022.00053.1
E. Emre, L. M. Silverman, “The equation XR+QY=Φ: a characterization of solutions,” SIAM J. Control Optim., 19, No. 1, 33–38 (1981), https://doi.org/10.1137/0319003
J. Feinstein, Y. Bar-Ness, “On the uniqueness minimal solution to the matrix polynomial equation A(λ)X(λ)+Y(λ)B(λ)=C(λ),” J. Franklin Inst., 310, No. 2, 131–134 (1980), https://doi.org/10.1016/0016-0032(78)90012-1
W. H. Gustafson, “Roth’s theorems over commutative rings,” Linear Algebra Appl., 23, 245–251 (1979), https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X
J. Ježek, “New algorithm for minimal solution of linear polynomial equations,” Kybernetika, 18, No. 6, 505–516 (1982).
J. Jones (Jr.), “A Diophantine matrix equation,” Am. Math. Month., 62, No. 4, 244–247 (1955), https://doi.org/10.2307/2306696
M. A. Kaashoek, L. Lerer, “On a class of matrix polynomial equations,” Linear Algebra Appl., 439, No. 3, 613–620 (2013), https://doi.org/10.1016/j.laa.2012.08.020
T. Kaczorek, Polynomial and rational matrices. Applications in dynamical systems theory, Springer, London (2007), https://doi.org/10.1007/978-1-84628-605-6
H. Kwon, “Terminating Euclidean algorithm for a non-Noetherian Bezout domain,” Linear Algebra Appl., 506, 10–32 (2016), https://doi.org/10.1016/j.laa.2016.05.017
P. Lezowski, “On some Euclidean properties of matrix algebras,” J. Algebra, 486, 157–203 (2017), https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.05.018
Th. Motzkin, “The Euclidean algorithm,” Bull. Amer. Math. Soc., 55, No. 12, 1142–1146 (1949), https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1949-09344-8
V. M. Prokip, “About the uniqueness solution of the matrix polynomial equation A(λ)X(λ)-Y(λ)B(λ)=C(λ),” Lobachevskii J. Math., 29, No. 3, 186–191 (2008), https://doi.org/10.1134/S1995080208030098
W. E. Roth, “The equations AX-YB=C and AX-XB=C in matrices,” Proc. Am. Math. Soc., 3, No. 3, 392–396 (1952), https://doi.org/10.2307/2031890
P. Samuel, “About Euclidean rings,” J. Algebra, 19, No. 2, 282–301 (1971), https://doi.org/10.1016/0021-8693(71)90110-4
A. Sheydvasser, “The twisted Euclidean algorithm: Applications to number theory and geometry,” J. Algebra, 569, 823–855 (2021), https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2020.08.019
Y. Tian, C. Xia, “On the low-degree solution of the Sylvester matrix polynomial equation,” Hindawi J. Math., 2021, Art. 4612177 (2021), https://doi.org/10.1155/2021/4612177
W. Wolovich, “Skew prime polynomial matrices,” IEEE Trans. Automat. Control, 23, No. 5, 880–887 (1978), https://doi.org/10.1109/TAC.1978.1101854
Посилання
- Поки немає зовнішніх посилань.
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.