Термомеханічний контакт пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів

І. І. Прокопишин

Анотація


Розглянуто термопружну контактну задачу для декількох тіл за умов одностороннього механічного контакту через нелінійні вінклерівські поверхневі шари та умов неідеального теплового контакту. Отримано слабке формулювання цієї задачі у вигляді системи варіаційного рівняння і варіаційної нерівності, а також альтернативне слабке формулювання у вигляді системи лінійного і нелінійного варіаційних рівнянь. Для розв’язування системи варіаційних рівнянь термомеханічної контактної задачі розроблено паралельні ітераційні алгоритми декомпозиції області типу Робіна, на кожному кроці яких необхідно розв’язувати два лінійні варіаційні рівняння для кожного з тіл, одне з яких відповідає задачі теплопровідності з умовами Ньютона на ділянках можливого контакту, а інше – задачі теорії пружності з умовами Робіна на цих ділянках і додатковими об’ємними силами. Проведено аналіз числової ефективності запропонованих алгоритмів для плоскої термомеханічної задачі про контакт двох пружних тіл з використанням скінченноелементних апроксимацій.

Ключові слова


термопружні контактні задачі, нелінійні вінклерівські шари, варіаційні нерівності, варіаційні рівняння, методи декомпозиції області, метод скінченних елементів

Посилання


Александров В. М., Кудиш И. И. Асимптотический анализ плоской и осесимметричной контактных задач при учёте поверхностной структуры взаимодействующих тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1979. – № 1. – С. 58–70.

Александров В. М., Мхитарян С. М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и с прослойками. – Москва: Наука, 1983. – 488 с.

Александров В. М., Пожарский Д. А. Трехмерные контактные задачи для упругого клина с покрытием // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, № 1. – С. 103–109. Те саме: Aleksandrov V. M., Pozharskii D. A. Three-dimensional contact problems for an elastic wedge with a coating // J. Appl. Math. Mech. – 2008. – 72, No. 1. – P. 62–65. – https://doi.org/10.1016/j.jappmathmech.2008.03.015.

Александров В. М., Пожарский Д. А. Трехмерные контактные задачи при учете трения и нелинейной шероховатости // Прикл. математика и механика. – 2004. – 68, № 3. – С. 516–527. Те саме: Aleksandrov V. M., Pozharskii D. A. Three-dimensional contact problems taking friction and non-linear roughness into account // J. Appl. Math. Mech. – 2004. – 68, No. 3. – P. 463–472. – https://doi.org/10.1016/S0021-8928(04)00061-9.

Бабин А. П., Зернин М. В. Конечноэлементное моделирование контактного взаимодействия с использованием положений механики контактной псевдосреды // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2009. – № 4. – С. 84–107.

Блох М. В., Оробинский A. B. О модификации метода конечных ýлементов для решения двумерных упругих и пластических контактных задач // Проблемы прочности. – 1983. – № 5. – С. 21–27. Те саме: Blokh M. V., Orobinskii A. V. Modification of the finite-element method to solve two-dimensional elastic and plastic contact problems // Strength Mater. – 1983. – 15, No. 3. – P. 613–620. – https://doi.org/10.1007/BF01523204.

Бобилёв А. А. (мл.) Задача о контактном взаимодействии весомого упругого тела с односторонним жестким нагретым основанием // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – 2010. – Вип. 14. – С. 64–71.

Бобилёв А. А. (мл.) Задача о сжатии упругой двухслойной полосы жесткими нагретыми выпуклыми штампами // Вісн. Дніпропетр. ун-ту. Сер. Механіка. – 2010. – Вип. 14, т. 2. – С. 15–22.

Бобильов О. О. (мол.), Лобода В. В. Осесиметрична контактна задача термопружності для тришарового пружного циліндра з жорстким нерівномірно нагрітим сердечником // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 4. – С. 149–157. Те саме: Bobylev O. O. (Jr.), Loboda V. V. Axisymmetric contact problem of thermoelasticity for a three-layer elastic cylinder with rigid nonuniformly heated core // J. Math. Sci. – 2015. – 208, No. 4. – P. 448–459. – DOI 10.1007/s10958-015-2459-5.

Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. – Москва: Наука, 1980. – 304 с.

Горячева И. Г. Механика фрикционного взаимодействия. – Москва: Наука, 2001. – 478 с.

Григоренко А. Я., Дыяк И. И., Матысяк С. И., Прокопышин И. И. Методы декомпозиции области для решения задач контакта без трения многослойных упругих тел // Прикл. механика. – 2010. – 46, № 4. – С. 25–37. Те саме: Grigorenko A. Ya., Dyyak I. I., Matysyak S. I., Prokopyshyn I. I. Domain decomposition methods applied to solve frictionless-contact problems for multilayer elastic bodies // Int. Appl. Mech. – 2010. – 46, No. 4. – P. 388–399. – https://doi.org/10.1007/s10778-010-0320-6.

Дияк І. І., Прокопишин І. І. Збіжність паралельної схеми Неймана методу декомпозиції області для задач контакту без тертя декількох пружних тіл // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2009. – 52, № 3. – С. 78–89. Те саме: Dyyak I. I., Prokopyshyn I. I. Convergence of the Neumann parallel scheme of the domain decomposition method for problems of frictionless contact between several elastic bodies // J. Math. Sci. – 2010. – 171, No. 4. – P. 516–533. – https://doi.org/10.1007/s10958-010-0154-0.

Зайцев В. И., Щавелин В. М. Метод решения контактных задач с учетом реальных свойств шероховатых поверхностей взаимодействующих тел // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1989. – № 1. – С. 88–94.

Кит Г. С., Хай М. В. Метод потенциалов в трехмерных задачах термоупругости тел с трещинами. – Киев: Наук. думка, 1989. – 288 с.

Кравчук А. С. Нелокальный контакт шероховатых тел по эллиптической области // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 3. – С. 42–52. Те саме: Kravchuk A. S. Nonlocal contact of rough bodies with an elliptic contact area // Mech. Solids. – 2005. – 40, No. 3. – P. 32–40.

Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // Прикл. математика и механика. – 1978. – 42, № 3. – C. 467–473. Те саме: Kravchuk A. S. Formulation of the problem of contact between several deformable bodies as a nonlinear programming problem // J. Appl. Math. Mech. – 1978. – 42, No. 3. – P. 489–498. – https://doi.org/10.1016/0021-8928(78)90117-X.

Кузьменко В. И. О вариационном подходе в теории контактных задач для нелинейно-упругих слоистых тел // Прикл. математика и механика. – 1979. – 43, № 5. – C. 893–901. Те саме: Kuz’menko V. I. On the variational method in the theory of contact problems for nonlinearly elastic laminated bodies // J. Appl. Math. Mech. – 1979. – 43, No. 5. – P. 961–970. – https://doi.org/10.1016/0021-8928(79)90184-9.

Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 588 с. Те саме: Lions J.-L. Quelques méthodes de résolution des problèms aux limites non linéares. – Paris: Dunod Gauthier-Villars, 1969. – 554 р.

Мартиняк Р. М., Прокопишин І. А., Прокопишин І. І. Контакт пружних тіл за наявності нелінійних вінклерівських поверхневих шарів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2013. – 56, № 3. – С. 43–56. Те саме: Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A., Prokopyshyn I. I. Contact of elastic bodies with nonlinear Winkler surface layers // J. Math. Sci. – 2015. – 205, No. 4. – P. 535–553. – DOI: 10.1007/s10958-015-2265-0.

Мартиняк Р. М., Чумак К. А. Термопружний контакт півпросторів, що мають однакові термічні дистортивності, за наявності теплопроникного міжповерхневого просвіту // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2008. – 51, № 3. – С. 163–175. Те саме: Martynyak R. M., Chumak K. A. Thermoelastic contact of half-spaces with equal thermal distortivities in the presence of a heat-permeable intersurface gap // J. Math. Sci. – 2010. – 165, No. 3. – P. 355–370. – https://doi.org/10.1007/s10958-010-9804-5.

Мартиняк Р. М., Швець Р. М. Математична модель механічного контакту тіл через тонкий неоднорідний прошарок // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. – 40, № 2. – С. 107–109. Те саме: Martinyak R. M., Shvets’ R. M. A mathematical model of mechanical contact of bodies across a thin inhomogeneous layer // J. Math. Sci. – 1998. – 90, No. 2. – P. 2000–2002. – https://doi.org/10.1007/BF02432319.

Мартиняк Р. М., Швець Р. М. Умови теплового контакту тіл через тонкі неоднорідні за товщиною прошарки // Доп. НАН України. – 1996. – № 9. – С. 74–76.

Механика контактных взаимодействий / Под ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова. – Москва: Физматлит, 2001. – 672 с.

Мхитарян С. М., Шекян А. Л., Шекян Л. А. Вдавливание круглого штампа в упругое шероховатое полупространство // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 2009. – № 5. – С. 90–98.

Підстригач Я. С. Умови стрибка напружень і переміщень на тонкостінному пружному включенні в суцільному середовищі // Доп. АН УРСР. – 1982. – № 12. – С. 29–31.

Підстригач Я. С. Умови теплового контакту твердих тіл // Доп. АН УРСР. – 1963. – № 7. – С. 872–874.

Подгорный А. Н., Гонтаровский П. П., Киркач Б. Н., Матюхин Ю. И., Хавин Г. Л. Задачи контактного взаимодействия элементов конструкций. – Киев: Наук. думка, 1989. – 232 с.

Прокопишин И. А., Хлебников Д. Г. Асимптотический анализ решения теории упругости для трансверсально-изотропного слоя и построение уточненных теорий пластин для контактных задач // Исследования по теории пластин и оболочек. – Казань, 1992. – Вып. 24. – С. 108–113.

Прокопишин И. А., Хлебников Д. Г. Эквивалентные вариационные постановки односторонних контактных задач для упругих тел при наличии нелинейного поверхностного слоя // Эффективные численные методы решения краевых задач механики твердого деформируемого тела: Тез. докл. респ. н.-т. конф. – Харьков, ХИСИ, 1989. – С. 83–85.

Прокопишин І. І. Схеми декомпозиції області на основі методу штрафу для задач контакту пружних тіл: Дис. … канд. фіз.-мат. наук: 01.05.02. – «Мат. моделювання та обчисл. методи». – Львів, 2010. – 163 с.

Прокопишин І. І. Схеми декомпозиції області на основі методу штрафу для задач про ідеальний контакт пружних тіл // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2014. – 57, № 1. – С. 41–56. Те саме: Prokopyshyn I. I. Domain decomposition schemes based on the penalty method for the problems of perfect contact of elastic bodies// J. Math. Sci. – 2016. – 212, No. 1. – P. 46–66. – DOI: 10.1007/s10958-015-2648-2.

Прокопишин І. І., Дияк І. І., Мартиняк Р. М. Числове дослідження задач про контакт трьох пружних тіл методами декомпозиції області // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2013. – 49, № 1. – С. 46–55. Те саме: Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M. Numerical analysis of the problems of contact of three elastic bodies by the domain decomposition methods // Mater. Sci. – 2013. – 49, No. 1. – P. 45–58. – https://doi.org/10.1007/s11003-013-9581-7.

Прокопишин І. Алгоритми декомпозиції області для задач про термомеханічний контакт багатьох пружних тіл // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2017. – Вип. 26. – С. 63–82.

Прокопишин І. Методи декомпозиції області для задачі про статичну рівновагу системи пружних тіл, з’єднаних через тонкі нелінійні прошарки // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2015. – Вип. 21. – С. 173–185.

Прокопишин І. Методи декомпозиції області для задач про односторонній контакт нелінійно пружних тіл // Фіз.-мат. моделювання та інформ. технології. – 2012. – Вип. 15. – С. 75–87.

Прокопишин І. Паралельні схеми методу декомпозиції області для контактних задач теорії пружності без тертя // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикл. математика та інформатика. – 2008. – Вип. 14. – C. 123–133.

Рыжов Э. В., Суслов А. Г., Федоров В. П. Технологическое обеспечение эксплуатационных свойств деталей машин. – Москва: Машиностроение, 1979. – 176 с.

Скородинський І. С. Ітераційні алгоритми для розв’язування квазістатичної однобічної термофрикційної задачі // Фіз.-хім. механіка матеріалів. – 2000. – 36, № 6. – С. 65–71. Те саме: Skorodyns’kyi I. S. Iterative algorithms for the solution of quasistatic unilateral problems of thermal friction // Mater. Sci. – 2000. – 36, No. 6. – P. 870–877. – https://doi.org/10.1023/A:1011378503408.

Скородинський І. С., Лазько В. А. Квазістатична термофрикційна задача при наявності узагальненого лінійно-дисипативного механізму міжфазного проковзування // Вісн. держ. ун-ту «Львів. політехніка». Сер. Прикл. математика. – 1996. – № 299. – С. 144–154.

Avery P., Farhat C. The FETI family of domain decomposition methods for inequality-constrained quadratic programming: Application to contact problems with conforming and nonconforming interfaces // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. –2009. – 198, Nos. 21-26. – P. 1673–1683. – https://doi.org/10.1016/j.cma.2008.12.014.

Bresch D., Koko J. An optimization-based domain decomposition method for nonlinear wall laws in coupled systems // Math. Models Methods Appl. Sci. – 2004. – 14, No. 7. – P. 1085–1101.

Chumak K. A., Martynyak R. M. Thermal rectification between two thermoelastic solids with a periodic array of rough zones at the interface // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2012. – 55, No. 21-22. – P. 5603–5608. – https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2012.05.049.

Dostál Z., Kozubek T., Vondrák V., Brzobohatý T., Markopoulos A. Scalable TFETI algorithm for the solution of multibody contact problems of elasticity // Int. J. Numer. Methods Eng. – 2010. – 41. – P. 675–696. – https://doi.org/10.1002/nme.2807.

Dyyak I. I., Prokopyshyn I. I., Prokopyshyn I. A. Convergence of penalty Robin–Robin domain decomposition methods for unilateral multibody contact problems of elasticity // http://arxiv.org/pdf/1208.6478.pdf. – 2015. – 33 p.

Haslinger J., Kučera R., Sassi T. A domain decomposition algorithm for contact problems: Analysis and implementation // Math. Model. Nat. Phenom. – 2009. – 4, No 1. – P. 123–146.

Johansson L., Klarbring A. Thermoelastic frictional contact problems: Modelling, finite element approximation and numerical realization // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. – 1993. – 105, No 2. – P. 181–210. – https://doi.org/10.1016/0045-7825(93)90122-E.

Koko J. Convergence analysis of optimization-based domain decomposition methods for a bonded structure // Appl. Numer. Math. – 2008. – 58, No. 1. –P. 69–87.

Koko J. Uzawa block relaxation domain decomposition method for a two-body frictionless contact problem // Appl. Math. Lett. – 2009. – 22. – P. 1534–1538.

Martynyak R., Chumak K. Effect of heat-conductive filler of interface gap on thermoelastic contact of solids // Int. J. Heat Mass Transfer. – 2012. – 55, No. 4. – P. 1170–1178.

Oancea V. G., Laursen T. A. A finite element formulation of thermomechanical rate-dependent frictional sliding // Int. J. Numer. Methods Eng. – 1997. – 40. – P. 4275–4311.

Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A. Domain decomposition methods for problems of unilateral contact between elastic bodies with nonlinear Winkler covers // Lect. Notes Comput. Sci. Eng. – 2014. – 98. – P. 739–748.

Prokopyshyn I. I., Dyyak I. I., Martynyak R. M., Prokopyshyn I. A. Penalty Robin–Robin domain decomposition schemes for contact problems of nonlinear elasticity // Lect. Notes Comput. Sci. Eng. – 2013. – 91. – P. 647–654.

Suquet P. M. Discontinuities and plasticity // In: Nonsmooth mechanics and applications / Ed. by J. J. Moreau, P. D. Panagiotopoulos. – Springer: Wien–New York, 1988. – P. 279–340. – CISM Courses and Lectures. – No. 302.

Xing H. L., Makinouchi A. Three dimensional finite element modeling of thermomechanical frictional contact between finite deformation bodies using R-minimum strategy // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. – 2002. – 191, Nos. 37-38. – P. 4193–4214. – https://doi.org/10.1016/S0045-7825(02)00372-9.

Zavarise G., Wriggers P., Schrefler B. A. On augmented Lagrangian algorithms for thermomechanical contact problems with friction // Int. J. Numer. Methods Eng. – 1995. – 38. – P. 2929–2949.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.