Стандартні форми матриць над кільцями відносно різних типів еквівалентностей і їх застосування в теорії факторизації матриць і матричних рівнянь

В. М. Петричкович

Анотація


Наведено огляд результатів досліджень одного з напрямків, що стосується еквівалентності матриць, започаткованого П. С. Казімірським і продовже­ного та розвиненого його учнями. Сформульовано стандартні форми поліноміальних матриць і їх скінченних наборів відносно напівскалярної еквіва­лентності та узагальненої еквівалентності пар матриць над кільцями. На­ведено застосування таких стандартних форм при побудові методів факторизації матриць, розв’язуванні матричних рівнянь, опису структури роз­в’язків цих рівнянь, зокрема матричних рівнянь типу Сильвестра, матрич­них лінійних діофантових рівнянь і в інших задачах.

 


Ключові слова


поліноміальне кільце, адекватне кільце, еквівалентність, напівскалярна еквівалентність, узагальнена еквівалентність, канонічна форма, стандартна форма, факторизація матриць, матричне рівняння

Посилання


Бондаренко В. М. Зображення гельфандових графів. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2005. – 228 с.

Боревич З. И. О факторизации матриц над кольцом главных идеалов // ІІІ Всесоюз. симп. по теории колец, алгебр и модулей, Тарту, 21–24 сент. 1976 г.: Тез. докл. – Тарту: Тарт. ун-т, 1976. – С. 19.

Васерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функц. анализ и его приложения. – 1971. – 5, № 2. – С. 17–27. Те саме: Vasershtein L. N. Stable rank of rings and dimensionality of topological spaces // Funct. Analysis its Appl. – 1971. – 5, No. 2. – P. 102–110.

Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1988. – 552 c. Те саме: Gantmacher F. R. The theory of matrices. – New York: Chelsea Publ. Co., 1959. – Vol. 1: x+377 p.; Vol. 2: x+277 p. – http://science.sciencemag.org/content/131/3408/1216.2.

Грига Б. С., Казімірський П. С. До питання єдиності виділення унітального множника з матричного многочлена // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1976. – № 4. – С. 293–295.

Гудивок П. М. Об эквивалентности матриц над коммутативными кольцами // Бесконечные группы и примыкающие алгебр. структуры. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. – С. 431–437.

Джалюк Н. С., Петричкович В. М. Паралельні факторизації матриць над кільцями та їх зв’язки // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2010. – Вип. 8. – С. 7–17.

Джалюк Н., Петричкович В. Напівскалярна еквівалентність поліноміальних матриць та розв’язування матричних поліноміальних рівнянь Сильвестра // Мат. вісн. НТШ. – 2012. – 9. – С. 81–88.

Забавський Б. В., Poманів O. M. Кільця з елементарною редукцією матриць // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – С. 1641–1649. Те саме: Zabavskii B. V., Romaniv O. M. Rings with elementary reduction of matrices // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, No. 12. – P. 1872–1881.

Забавський Б. В., Петричкович В. М. Про стабільний ранг кілець матриць // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1575–1578. Те саме: Zabavs’kyi B. V., Petrychkovych V. M. On the stable range of matrix rings // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, No. 11. – P. 1853–1857.

Зелиско В. Р. О разложении матричного многочлена в произведение линейных множителей // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 6. – С. 807–810.

Зелиско В. Р. О строении одного класса обратимых матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1980. – Вып. 12. – С. 14–21.

Зеліско В. Р. Єдиність унітальних дільників матричного многочлена // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1988. – Вип. 30. – С. 36–38.

Зеліско В. Р., Ладзоришин Н. Б., Петричкович В. М. Про еквівалентність матриць над квадратичними евклідовими кільцями // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2006. – Вип. 4. – С. 16–21.

Казимирский П. С. К разложению квадратной полиномиальной матрицы в произведение линейных множителей // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 5. – С. 115–119.

Казимирский П. С. Решение проблемы выделения регулярного множителя из матричного многочлена // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 4. – С. 483–498.

Казимирский П. С., Петричкович В. М. Разложимость полиномиальных матриц на линейные множители // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1978. – Вып. 8. – С. 3–9.

Казімірський П. С. Квазіунітальні та супровідні матриці матричних многочленів // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 29–52.

Казімірський П. С. Розклад матричних многочленів на множники. – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2015. – 282 с.

Казімірський П. С., Зеліско В. Р. Про виділення з поліноміальної матриці регулярного множника з наперед заданою формою Сміта // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 52–61.

Казімірський П. С., Зеліско В. Р. Про виділення лінійного множника з матричного многочлена // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1976. – № 11. – С. 968–970.

Казімірський П. С., Петричкович В. М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 61–66.

Кравчук М. П. Вибрані математичні праці / Упорядник Н. Вірченко. – Київ–Нью Йорк: Укр. вільна акад. у США – Нац. акад. наук України, 2002. – 792 с.

Кравчук М. П., Гольдбаум Я. С. Об эквивалентности особенных пучков матриц // Тр. Киев. авиац. ин-та. – 1928. – № 6. – С. 5–27.

Ладзоришин Н. Б. Цілочислові розв’язки матричних лінійних односторонніх і різносторонніх рівнянь над квадратичними кільцями // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2015. – 58, № 2. – С. 47–54. Те саме: Ladzoryshyn N. B. The integral solutions of matrix linear unilateral and bilateral equations over quadratic rings // J. Math. Sci. – 2017. – 223, No. 1. – P. 50–59. – doi:10.1007/s10958-017-3337-0.

Ладзоришин Н. Б., Петричкович В. М. Стандартна форма матриць над квадратичними кільцями відносно (z,k) -еквівалентності та структура розв’язків матричних двобічних лінійних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2018. – 61, № 2. – С. 49–56.

Ладзоришин Н., Петричкович В. Матричні лінійні одно- та двобічні рівняння над квадратичними кільцями // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2018. – Вип. 85. – С. 32–40.

Лопатинский Я. Б. О некоторых свойствах полиномиальных матриц // Краевые задачи мат. физики. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. – С. 108–116.

Лопатинский Я. Б. Разложение полиноминальной матрицы на множители // Науч. зап. Львов. политехн. ин-та. Сер. физ.-мат. – 1957. – Вып. 38, № 2. – С. 3–7.

Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – Москва: Наука, 1970. – 400 с.

Петричкович В. М. Звідність пар матриць узагальнено еквівалентними перетвореннями до трикутних і діагональних форм та їх застосування // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 2. – С. 15–22.

Петричкович В. М. Клеточно-треугольная и клеточно-диагональная факторизация клеточно-треугольных и клеточно-диагональных многочленных матриц // Мат. заметки. – 1985. – 37, № 6. – С. 789–796. Те саме: Petrichkovich V. M. Cell-triangular and cell-diagonal factorizations of cell-triangular and cell-diagonal polynomial matrices // Math. Notes. – 1985. – 37, No. 6. – P. 431–435.

Петричкович В. М. Критерій діагоналізовності пари матриць над кільцем головних ідеалів спільними рядковими і різними стовпцевими перетвореннями // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 6. – С. 860–862. Те саме: Petrychkovych V. M. A criterion of diagonalizability of a pair of matrices over the ring of principal ideals by common row and separate column transformations // Ukr. Math. J. – 1997. – 49, No. 6. – P. 963–965.

Петричкович В. М. О линейных делителях и приводимости многочленных матриц // Укр. мат. журн. – 1984. – 36, № 2. – С. 195–200. Те саме: Petrychkovich V. M. Linear divisors and reducibility of polynomial matrices // Ukr. Math. J. – 1984. – 36, No. 2. – P. 176–181.

Петричкович В. М. О полускалярной эквивалентности и нормальной форме Смита многочленных матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1987. – Вып. 26. – С. 13–16. Те саме: Petrychkovich V. M. Semiscalar equivalence and the Smith normal form of polynomial matrices // J. Sov. Math. – 1993. – 66, No. 1. – P. 2030–2033.

Петричкович В. М. Паралельні факторизації многочленних матриць // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 9. – С. 1228–1233. Те саме: Petrychkovych V. M. Parallel factorizations of polynomial matrices // Ukr. Math. J. – 1992. – 44, No. 9. – P. 1123–1127.

Петричкович В. М. Полускалярная эквивалентность и факторизация многочленных матриц // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 5. – С. 644–649. Те саме: Petrychkovich V. M. Semiscalar equivalence and the factorization of polynomial matrices // Ukr. Math. J. – 1990. – 42, No. 5. – P. 570–574.

Петричкович В. М. Про кратності характеристичних коренів, степені елементарних дільників і факторизацію многочленних матриць // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 2. – С. 7–17.

Петричкович В. М. Про паралельні факторизації матриць над кільцями головних ідеалів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. – 40, № 4. – С. 96–100.

Петричкович В. М. Про подільність та факторизацію матриць // Мат. студії. – 2004. – 22, № 2. – С. 115–120.

Петричкович В. М. Про розв’язки матричних многочленних рівнянь та їх число // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2009. – Вип. 7. – С. 52–56.

Петричкович В. М. Узагальнена еквівалентність матриць і їх наборів та факторизація матриць над кільцями. – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2015. – 312 с.

Шаваровский Б. З. О некоторых «ручных» и «диких» аспектах проблемы полускалярной эквивалентности многочленных матриц // Мат. заметки. – 2004. – 76,

№ 1. – С. 119–132. Те саме: Shavarovskii B. Z. On some «tame» and «wild» aspects of the problem of semiscalar equivalence of polynomial matrices // Math. Notes. – 2004. – 76, No. 1-2. – P. 111–123.

Шаваровский Б. З. О подобии пар матриц четного порядка // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 3. – С. 448–463. Те саме: Shavarovskii B. Z. On the similarity of matrices of even order // Math. Notes. – 2007. – 81, No. 3. – P. 392–407.

Щедрик В. П. Факторизація матриць над кільцями елементарних дільників. – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, 2017. – 304 с.

Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. I.H.É.S. – 1964. – 22. – P. 5–60.

Bovdi V. A., Shchedryk V. P. Commutative Bezout domains of stable range 1.5 // Linear Algebra Appl. – 2019. – 568. – P. 127–134. – https://doi.org/10.1016/j.laa.2018.06.012.

Dias da Silva J. A., Laffey T. J. On simultaneous similarity of matrices and related questions // Linear Algebra Appl. – 1999. – 291. – P. 167–184.

Dlab V., Ringel C. M. Canonical forms of pairs of complex matrices // Linear Algebra Appl. – 1991. – 147. – P. 387–410. – doi:10.1016/0024-3795(91)90240-W.

Drozd Yu. A. Tame and wild matrix problems // Lect. Notes Math. – 1980. – 832. – P. 242–258.

Dzhaliuk N. S., Petrychkovych V. M. The matrix linear unilateral and bilateral equations with two variables over commutative rings // Int. Scholarly Research Notices. ISRN Algebra. – 2012. – Article ID 205478. – 14 pages. – http://dx.doi.org/10.5402/2012/205478.

Dzhaliuk N. S., Petrychkovych V. M. Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure // Algebra Discrete Math. – 2019. – 27. No. 2. – P. 243–251.

Feinstein J., Bar-Ness Y. On the uniqueness minimal solution of the matrix polynomial equation A(l)X(l) + Y(l)B(l) = C(l) // J. Franklin Inst. – 1980. – 310, No. 2. – P. 131–134. – doi: 10.1016/0016-0032(78)90012-1.

Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrix polynomials. – New York: Acad. Press, 1982. – 409 p.

Helmer O. The elementary divisor theorem for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1943. – 49, No. 4. – P. 225–236. – https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1943-07886-X.

Kaczorek T. Polynomial and rational matrices. Applications in dynamical systems theory. – London: Springer, 2007. – 503 p.

Kronecker L. Algebraische Reduktion der Scharen bilinearer Formen // Sitzungsber. Akad. Wiss. Phys.-Math. Klasse. – Berlin, 1890. – S. 763–776.

Kučera V. Algebraic theory of discrete optimal control for single-variable systems. I. Preliminaries // Kybernetika. – 1973. – 9, No. 2. – P. 94–107.

Ladzoryshyn N., Petrychkovych V. Equivalence of pairs of matrices with relatively prime determinants over quadratic rings of principal ideals // Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Mold. Mat. – 2014. – No. 3 (76). – P. 38–48.

Lancaster P., Rodman L. Algebraic Riccati equations. – Oxford: Clarendon Press, 1995. – 498 p.

Newman M. Integral matrices. – New York: Acad. Press, 1972. – 224 p. – Ser. Pure and Applied Mathematics. – Vol. 45.

Pereira E. On solvents of matrix polynomials // Appl. Numer. Math. – 2003. – 47, No. 2. – P. 197–208. – https://doi.org/10.1016/S0168-9274(03)00058-8.

Petrychkovych V. Generalized equivalence of pairs of matrices // Linear Multilinear Algebra. – 2000. – 48, No. 2. – P. 179–188. – doi: 10.1080/03081080008818667.

Petrychkovych V. Standard form of pairs of matrices with respect to generalized equivalence // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2003. – Вип. 61. – C. 148–155.

Petrychkovych V., Dzhaliuk N. Factorizations in the rings of the block matrices // Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Mold. Mat. – 2017. – No. 3 (85). – P. 23–33.

Roth W. E. The equations AX - YB = C and AX - XB = C in matrices // Proc. Am. Math. Soc. – 1952. – 3, No. 3. – P. 392–396. – https://doi.org/10.2307/2031890.

Sergeichuk V. V. Canonical matrices and related questions // Математика і її застосування: Праці Ін-ту марематики НАН України. – 57. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2006. – x+326 с.

Shavarovskii B. Z. Canonical form of reduced 3-by-3 matrix with one characteristic root and with some zero subdiagonal elements // Hindawi J. Math. – 2019. – Volume 2019. Article ID 7646132. – 10 p. – https://doi.org/10.1155/2019/7646132.

Shchedryk V. Factorization of matrices over elementary divisor domain // Algebra Discrete Math. – 2009. – 8, No. 2. – P. 79–98.

Weierstrass K. Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen // Monatsh. Akad. Wiss. – Berlin, 1867. – S. 310–338.

Zabavsky B. Diagonalizability theorem for matrices over rings with finite stable range // Algebra Discrete Math. – 2005. – 4, No. 1. – P. 151–165.

Zabavsky B. Diagonal reduction of matrices over rings. – Lviv: VNTL Publ., 2012. – 250 p. – (Math. Studies: Monograph Ser. – Vol. 16).

Zabavsky B. Conditions for stable range of an elementary divisor rings // Commun. Algebra. – 2017. – 45, No. 9. – P. 4062–4066.

Zhou B., Yan Z.-B., Duan G.-R. Unified parametrization for the solutions to the polynomial Diophantine matrix equation and the generalized Sylvester matrix equation // Int. J. Control, Autom., Syst. – 2010. – 8, No. 1. – P. 29–35. – doi:10.1007/s12555-010-0104-0.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.