Критический анализ двумерных уравнений теплового баланса композитных пластин, полученных на основе вариационных принципов теории теплопроводности. II. Модельная задача

Анотація

Получены аналитические решения модельной задачи стационарной теплопроводности для композитной пластины. Эти решения построены с использованием двух методов понижения размерности: метода взвешенных невязок (обобщенного метода Галеркина) и на основе вариационного метода. Рассматривается однородная прямоугольная удлиненная пластина с анизотропией материала общего вида. Лицевые поверхности конструкции теплоизолированы, на одной продольной торцевой поверхности задана температура, а надругой – задан тепловой поток. Предполагается, что входные данные задачи и ее решение не зависят от продольной координаты. Температура аппроксимируется полиномом второго порядка по поперечной координате. Граничные условия на лицевых поверхностях учитываются. Показано, что в случае использования метода взвешенных невязок разрешающее дифференциальное уравнение задачи имеет второй порядок, а при использовании вариационного метода – четвертый порядок. В рамках решения, полученного с использованием метода взвешенных невязок, интегральный тепловой поток в тангенциальном направлении получается постоянным и равным истинному значению этой величины. В рамках решения, полученного с использованием вариационного метода, этот интегральный тепловой поток осциллирует в тангенциальном направлении, ортогональном продольному направлению пластины. Частота и амплитуда этих осцилляций зависят от относительной толщины конструкции, причем амплитуда осцилляций может на несколько порядков превышать истинное значение интегрального теплового потока. Аналогичный осциллирующий характер имеет и температурное поле в пластине, рассчитанное с использованием этого метода понижения размерности задачи теплопроводности.

Зразок для цитування: А. П. Янковский, “Критический анализ двумерных уравнений теплового баланса композитных пластин, полученных на основе вариационных принципов теории теплопроводности. II. Модельная задача,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 62, No. 3, 74–81 (2019).

Translation: А. P. Yankovskii, “Critical analysis of two-dimensional heat-balance equations for composite plates obtained according to the variational principles of the theory of heat conduction. II. Model problem,” J. Math. Sci., 263, No. 1, 84–92 (2022), https://doi.org/10.1007/s10958-022-05908-7