Нерівності типу Вімана для цілих функцій від двох комплексних змінних з швидкоколивними коефіцієнтами

Анотація

Нехай $f(z_1,z_2)=\sum_{n+m=0}^{\infty}a_{n,m}z_1^n z_2^m$ - ціла функція, $z=(z_1,z_2)\in\mathbb{C}$, a $K(f)=\left \{ f(z,t)=\sum_{n+m=0}^{\infty}a_{n,m}e^{2\pi i\theta_{n,m}t}:t\in \left [0,1 \right ] \right \}$, де $(\theta_{n,m})$ - фіксована послідовність Адамара. У статті доведено, що для кожного $\varepsilon>0$ майже напевно в $K(f)$ існує множина $E(\varepsilon,t)\subset \mathbb{R}_{+}^2$, $\ln_2-\mathrm{meas}E_R(\varepsilon,t)\overset{\mathrm{def}}{=}\int_{E_R(\varepsilon,t)\cap \left [1,+ \infty \right ]\times\left [1,+ \infty \right ]}\frac{\mathrm{d}r}{r}=O(\ln{R})$, $R\rightarrow + \infty$, $E_R(\varepsilon,t)=E(\varepsilon,t)\cap \Delta _R$, така, що для всіх $r\in \mathbb{R}_{+}^2\setminus E(\varepsilon,t)$ справджується нерівність $M_f(r,t)\leq\mu _f(r)\ln^{\frac{1}{2}}\mu _f(r)(\ln\ln\mu _f(r)) ^{1+\varepsilon}$, де $M_f(r,t)=\max \left \{ \left | f(z,t) \right | :\left | z_1 \right |=r_1,\left | z_2 \right |=r_2\right \}$, $\mu_f(r)=\max \left \{ \left | a_{n,m} \right | r_1^n r_2^m:n\ge0, m\ge0\right \}$, $r=(r_1,r_2)\in\mathbb{R}_{+}^2$.