Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге – Кутта применительно к начально-краевым задачам для уравнений параболического типа. II. Неявные методы

Анотація

Рассмотрены конкретные реализации разных неявных обобщенных методов Рунге – Кутта (МРК) применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и исследована их спектральная устойчивость. Показано, что все неяв­ные обобщенные МРК безусловно спектрально устойчивы, но некоторые из них обладают свойством условной монотонности численного решения по времени. Функции спектральной устойчивости неявных обобщенных МРК являются рациональными. Проведено сравнение аналитического решения за­дачи нестационарной одномерной теплопроводности с ее численными решениями, полученными разными неявными обобщенными МРК. Продемонстрировано, что в этом случае применение одностадийных методов Радо с последующей дискретизацией задачи по пространственной переменной приводит к классической конечноразностной схеме с опережением (схеме Лаасонена), а использование одностадийного метода Гаусса – Лежандра – к шеститочечной симметричной схеме (схеме Кранка – Николсона). Показано, что диагонально неявные обобщенные методы Нерсетта и Барриджа реализуются примерно так же, как и одностадийные методы Радо и Гаусса – Лежандра, но имеют точность по временному шагу на один–три порядка большую. На основе сопоставления численных и аналитических решений установлено, что для получения практически пригодных численных решений без каких-либо ограничений на шаг по времени целесообразно использовать одно- и трехстадийные обобщенные методы Радо или двух- и четырехстадийные методы Лобатто IIIC. Все остальные явные и неявные обобщенные МРК требуют введения ограничений на шаг по времени.

Янковский А. П. Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге – Кутта применительно к начально-краевым задачам для уравнений параболического типа. II. Неявные методы // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2016. – 59, № 3. – С. 102–119.

Translation: Yankovskii A. P. Analysis of the spectral stability of the generalized Runge – Kutta methods applied to initial-boundary-value problems for equations of the parabolic type. II. Implicit methods // J. Math. Sci. – 2019. – 236, No. 2. – P. 115–136. https://doi.org/10.1007/s10958-018-4101-9