Belonging of Laplace–Stieltjes-type integrals to convergence $\Phi$-class

Анотація

Належність інтегралів типу Лапласа–Стілтьєса до $\Phi$-класу збіжності

Для невід’ємної неспадної необмеженої неперервної справа на $[0,+\infty)$ функції $F$, цілої трансцендентної функції $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty} f_k z^k$ з $f_k \ge 0$ для всіх $k \ge 0$ і невід’ємної на $[0,+\infty)$ функції $a(x)$ інтеграл $I(r)=\int_{0}^{\infty} a(x)f(xr) dF(x)$ називається інтегралом типу Лапласа–Стілтьєса. Припустимо, що для додатної необмеженої на $(-\infty,+\infty)$ функції $\Phi$ похідна $\Phi '$ є додатною, неперервно диференційовною і зростає до $+\infty$. Знайдено умови, за яких $\int_{r_0}^{\infty} \frac{\Phi'ln I(r)}{\Phi ^2(r)}dr<+\infty$.

Зразок для цитування: Mulyava O. M., Sheremeta M. M., Trukhan Yu. S. "Belonging of Laplace–Stieltjes-type integrals to convergence $\Phi$-class,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 66, №3-4, 5–12 (2023), https://doi.org/