Уточнення нерівності Фентона для цілих функцій від двох комплексних змінних

Анотація

Нехай $f(z_1,z_2)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}a_{n,m}z_1^nz_2^m$, $z=(z_1,z_2)\in\mathbb C^2$, -- ціла функція, $K(f)=\{f(x,t)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}a_{n,m}e^{2\pi i\theta_{n,m}t}:t\in[0,1]\}$, де $(\theta_{n,m})$ -- послідовність натуральних чисел, яка допускає впорядкування $(\theta^*_k)$ за зростанням: $\{\theta_{n,m}:(n,m)\in\mathbb Z^2_+\}=\{\theta^*_k:k\ge 0\}$, $\theta^*_{k+1}>\theta^*_k$ ($k\ge 0$), причому для кожного $\varepsilon>0$ майже напевно в $K(f)$ існує множина $E(\varepsilon,t)\subset\mathbb R_+^2$, така, що для всіх $r\in\mathbb R^2_+\setminus E(\varepsilon, t)$, $r=(r_1,r_2)$, правильна нерівність $$M_f(r,t)\le\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{\frac12+\frac{3\alpha}{2(1+\alpha)}}(\ln\ln\mu_f(r))^{\frac12+\frac{2\alpha}{2(1+\alpha)}+\delta},$$ де $$M_f(r,t)=\max\{|f(z,t)|:|z_1|=r_1,\;|z_2|=r_2\},$$ $$\mu_f(r)=\max\{|a_{n,m}|r_1^nr_2^m:n\ge 0,\;m\ge 0\}$$ і виконується асимптотична рівність $$\ell_2\mbox{-}\mathrm{meas}E_R(\varepsilon,t):= \int_{E_R(\varepsilon,t)\cap[1,+\infty)\times[1,+\infty)} \frac{dr}r=O(\ln R)\;\;(R\to\infty),$$ де $E_R(\varepsilon,t)=E(\varepsilon,t)\cap\Delta_R$, $\Delta_R=\{r\in\mathbb R^2_+:1\le r_1\le R,\;1\le r_2\le R\}$.