Розклад Іто-Вінера та властивості локального часу для ґауссівського випадкового поля

Анотація

Нехай  – сепарабельний метричний простір зі скінченною мірою на його борелівській σ-алгебрі, – центроване ґауссівське випадкове поле. Ми визначаємо локальний час в нулі для ξ, як границю виразу , коли функція f наближає дельта-міру в нулі та розглядаємо таке наближення дельта-міри: . Границя розглядається в сенсі збіжності за ймовірністю або у деякому соболевському просторі. Ми знаходимо розклад Іто-Вінера для наближень локального часу та самого локального часу (якщо він існує у сенсі збіжності в соболевському просторі) у вигляді інтегралів від деякої випадкової функції. Цей розклад використано для доведення інваріантності локального часу відносно деякого часу перетворень пари (ξ,ν). Також ми доводимо існування границі за ймовірністю модифікованих наближень локального часу за слабкої умови на процес ξ та міру ν.